Здравствуйте, Юлия!

Вы совершенно правы, в Вашем примере уместно написать «не за что».

Очень часто частицы «не» и «ни» при написании путают. Давайте рассмотрим, в каком случае употребима каждая из них.

Частица «не» — отрицательная:

• придаёт предложению или слову отрицательный смысл;

Я не поеду в отпуск.

Эта книга не моя

• при двойном использовании предложение приобретает утвердительный смысл;

Не могу с вами не согласиться.

Или:

Я с вами согласен.

• в восклицательно-вопросительных предложениях используется для усиления утверждения.

Кого только не было на том приёме!

Или:

Все были на том приёме.

• всегда ударная в таких сочетаниях, как «не к кому», «не к чему», «не за что», «не для чего», «не о ком» и т. д.

Вас не за что винить.

Мне не к кому обратиться за помощью.

Мне больше не во что верить.

Частица «ни» — усилительная:

• в отрицательном предложении усиливает отрицание:

На небе не было ни облачка.

• при употреблении в придаточных предложениях усиливает утвердительный смысл (используется в таких сочетаниях, как «как ни», «кто ни», «сколько бы ни», «куда бы ни», «когда бы ни» и т. д.);

Куда ни посмотри, везде зелень да цветы.

Придётся нам ехать вместе, как ни крути.

Как я ни объяснял сыну правило, он так ничего и не понял.

• входит в состав отрицательных местоимений «ничто», «никто», «никакой», «ничей», «никак», «ниоткуда», «никуда» и т. д.

Выходит, что этот щенок ничей.

Я никак успею встретиться с вами до отъезда.

• всегда безударная в сочетаниях «ни к кому», «ни к чему», «ни за что», «ни для чего», «ни о ком» и т. д. Такие сочетания используются в отрицательных предложениях, где также присутствует частица «не».

Я ни за что не поеду больше в тот отель.

Я ни о ком не слышал столько хорошего, сколько о вас.

Этот старый разбитый драндулет уже ни для чего не годится.

Таким образом, возвращаясь к Вашему примеру, верно будет написать «не до чего докопаться«, то есть «нет ничего, до чего можно докопаться». Если же употребить в данном контексте частицу «ни», то следом просится отрицательное слово «ни до чего докопаться нельзя» или «ни до чего докопаться не могу».

Что касается слитного или раздельного написания, то независимо от контекста данное сочетание всегда пишется в три слова — «не за что», «ни за что».